針對數字的批判性思考，最重要的一點就是允許自己在遇到數學問題時使用錯誤的答案，是故意有誤的答案。

工程師和科學家們經常會這樣做，沒理由我們不可以，他們的秘訣歸結起來就是一點：估測的藝術，或者叫做“餐巾紙背面”(back of the napkin)的計算。正如英國作家薩基(Saki）所說，“一點點誤差能夠避免一大堆麻煩的解釋”。

過去十年當中，谷歌在面試的時候，會問應聘者那些沒有答案的問題。谷歌是一家依靠創新得以生存和發展的公司——發明之前沒有的東西，改進現有的方法和技術，讓消費者去做之前做不到的事情。

將這一點和其他大部分公司的面試方式進行比較：在面試中考驗技能的部分，谷歌需要知道你是否能夠做到他們需要你做的事情。

但是谷歌不知道他們的新雇員需要有什么具體的技能。他們需要知道的是：一名員工是否能夠用自己的思考解決一個問題。

鋼琴調音師和摩天大樓

來考慮一下這個曾經在谷歌面試中被提及的問題：帝國大廈有多重？

在任何一個實際的場景下，這個問題都是沒有正確答案的，因為沒人知道答案。谷歌對答案也不感興趣；他們感興趣的是思考的過程。谷歌希望看到一個合邏輯且理性的解決路徑，這樣就能了解應聘者是如何思考的，對方是否是一個縝密的思考者。

對于這個問題，通常有四種反應。人們擺擺手說“這是不可能(被回答)的”，或者他們會嘗試在哪里尋找答案。

第三種反應是要求提供更多的信息，就“帝國大廈的重量”這個問題來說，會問你是指包括家具還是不包括家具？是否要把樓里的人計算在內？但是這些問題無關痛癢，并不會讓你距離解決問題更近；它們只會讓你推延開始解決問題的過程。

第四種反應才是正確的：使用估算，一些人稱之為猜算(guesstimating)。這些類型的問題通常被稱作估算問題或是費米問題(Fermi problems)，以物理學家恩里科•費米(Enrico Fermi)的名字命名，費米曾以在沒有確切數據的情況下做出估算而聞名。估算涉及一系列系統化的合理猜測能力，將問題分成可處理的不同部分，定義假設條件，再使用客觀世界的常識填補空缺的信息，以此來解決問題。

那么你要如何來解決“芝加哥有多少鋼琴調音師”這個費米問題呢？

從哪里開始下手？和許多費米問題一樣，對于計算中使用的數據量進行估計通常是很有幫助的，這里說的不是問題最終要你估算的量，而是能夠幫助你計算出最終結果的量。在這個問題里面，我們先從芝加哥有多少臺鋼琴開始可能會更容易，之后再弄清楚需要多少調音師才能讓這些鋼琴保持音準。

我們先列出需要知道的數據，之后是一些假設：

一、鋼琴需要多久進行一次調音

二、為一臺鋼琴進行調音需要多長時間

三、一位鋼琴調音師一年平均工作多少小時

四、芝加哥有多少架鋼琴

搞清楚這些問題有助于我們得到答案。如果你知道第一點、第二點和第三點，只要和第四點相乘就能夠弄清楚每年芝加哥所有的鋼琴需要多少時間進行調音。用這個數字除以每位調音師每年工作的時間，就得到了調音師的數量。

假設一：每架鋼琴平均每年進行調音的次數。

這個數據是從哪里來的？我編的！不過這就是你在估算時候需要做的。而且必須要在一個合理的量級：一臺鋼琴不會每十年才調一次音，也不會一年調十次音。一年一次看起來是一個合理的猜測。

假設二：為一臺鋼琴調音需要兩個小時。這是猜的，或許是一小時，但是兩小時在合理的量級范圍之內，所以這個數字沒問題。

假設三：一位鋼琴調音師每年平均工作多少小時？我們假設一周工作 40 小時，調音師每年有兩個星期去度假：40 小時/周 x 50 周 ＝ 2000 小時 / 年。鋼琴調音師的工作需要花時間在路上——沒有人會把鋼琴搬來搬去——所以調音師會有 10％ 到 20％ 的時間用在交通上面。我們會在最后的結果中把這部分剪掉。

假設四：估算芝加哥所有鋼琴的數量，你可能會猜測每 100 人就有一臺鋼琴——再說一遍，這只是一個猜測，但很可能是在合理的范圍內。除此之外，還有學校和其他組織機構購買了鋼琴，其中許多都有多架鋼琴。這樣估計起來就有點難度了，但是把這個因素考慮在內，平攤在人均擁有的鋼琴數量上面，則大概是每 100 人有兩臺鋼琴。

現在來估算芝加哥的總人數。如果你不知道的話，可能會想到這是美國第三大城市，僅次于紐約(800 萬人)和洛杉磯(400 萬人)。你可能會猜算芝加哥有 250 萬人口，也就是說有 25000 人有鋼琴。我們將這個數字翻倍，為的是將機構組織的鋼琴數量計算在內，這樣結果就是 50000 臺鋼琴。

于是，我們的估計如下：

一、芝加哥有 250 萬人口

二、每 100 人有兩臺鋼琴

三、芝加哥有 50000 臺鋼琴

四、鋼琴每年調音一次

五、一臺鋼琴調音需要兩個小時

六、鋼琴調音師每年工作 2000 小時。

七、在一年當中，每個鋼琴調音師能夠為 1000 臺鋼琴調音(2000 小時/年 除以 2 小時/臺鋼琴)。

八、50000 臺鋼琴需要 50 個調音師(50000 臺鋼琴 除以 1000 鋼琴/調音師)。

九、外加 15％ 的時間，為的是將交通時間計算在內，也就是芝加哥大約有 58 位鋼琴調音師。

正確的結果是怎樣的？芝加哥的電話黃頁上一共有 83 個鋼琴調音師。這其中包括重復登記的(同一位調音師有多部電話會被再登記一次)，還包括鋼琴技師(不做調音工作)。去掉 25 個不是調音師的情況，我們的估算答案 58 還是非常接近的。